MAKALAH PEMBAHASAN TENTANG INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Tugas akhir karya ilmiah matematika

PEMBAHASAN

TENTANG INTEGRAL

DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Disusun Oleh :

HERYADIK SIMATUPANG

5132131004

Karya Tulis Ini Disusun Sebagai Salah Satu Syarat

Dalam Menempuh Ujian Akhir SEMESTER

PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

MEDAN

2014

HALAMAN PENGESAHAN

NAMA             :  HERYADIK SIMATUPANG

NIM                  :  5132131004

PROGRAM      :  PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

JUDUL             :  PEMBAHASAN INTEGRAL DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

Motto :

“BUATKU YANG TERPENTING ADALAH

BANGGA AYAH & IBU

ALMAMATER

JUGA NEGARA KU”.

PERSEMBAHAN :

Karya Tulis ini kupersembahkan kepada :

1.     bapak dan Ibu tercinta

2.     Kakak kakakku

3.     Almamater

4.     Semua pembaca yang budiman

KATA PENGANTAR

Puji syukur Penulis limpahkan kehadirat Allah SWT, karena atas pertolongan Nya, penulis dapat menyelesaikan Karya Tulis Ilmiah ini tepat pada waktu yang telah direncanakan sebelumnya. Tak lupa sholawat serta salam Penulis haturkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat, semoga selalu dapat menuntun Penulis pada ruang dan waktu yang lain.

Untuk menyelesaikan karya tulis ini adalah suatu hal yang mustahil apabila penulis tidak mendapatkan bantuan dan kerjasama dari berbagai pihak. Dalam kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada :

1.         Bapak, Ibu dan Kakak tercinta yang telah memberikan dorongan moril maupun materil, dan sebagai semangat untuk membuka semangat baru.

2      Bapak Drs.Marsangkap Silitonga,M.Pd, selaku pembimbing.

3          Semua pihak yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung hingga terselesaikannya karya tulis ilmiah ini.

Penulis berharap semoga karya tulis ini bermanfaat bagi semua pihak dan bila terdapat kekurangan dalam pembuatan laporan ini penulis mohon maaf, karena penulis menyadari karya tulis ilmiah ini masih jauh dari kesempurnaan.

MEDAN,1JUNI 2014

PENULIS     

HERYADIK SIMATUPANG

DAFTAR ISI

BAB 1.PENDAHULUAN...................6

1.1.LATAR BELAKANG

BAB I

PENDAHULUAN

1. LATAR BELAKANG

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, dalam dunia pendidikan ataupun dalam dunia kesehatan.

Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang aplikasi kalkulus integral dalam dunia pendidikan yaitu dalam sains yang khususnya fisika yaitu arus listrik. Sehingga saya mengambil judul Aplikasi Kalkulus Integral dalam Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup dan Daya Listrik dalam Ruang.

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan. Dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik.

Pada saat teknologi informasi belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sains menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis tertarik untuk membuat Karya tulis mengenai INTEGRAL dalam bidang kelistrikan dalam kehidupan sehari hari.

1.2     Tujuan

          Tujuan dari penyusunan karya tulis ini adalah sebagai berikut :    

Adapun tujuan dari makalah ini adalah:

1.      Sejarah integral

2.      Pengertian integral

3.      pengertian arus listrik

4.      Pengertian daya listrik

5.      Hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik

            1.2.1   Tujuan Umum           

               Tujuan umum dari karya tulis ini adalah:

a.       Sebagai salah satu syarat kelulusan dalam menyelesaikan tugas semester matematika 2 pendidikan teknik elektro.

b.      Untuk mengetahui dan memahami prinsip INTEGRAL dalam dunia kelistrikan.

1.2.2    Tujuan khusus

Tujuan khusus dari karya tulis ini adalah:

a.       Untuk mengetahui lebih jauh tentang INTEGRAL dalam kelistrikan.

b.      Sebagai bahan perbandingan antara teori dan praktek yang telah dilakukan saat praktek kerja lapangan.

c.       Untuk menambah pengetahuan tentang INTEGRAL khususnya dalam bidang kelistrikan.

1.3    Batasan Masalah

Untuk nenghindari terjadinya pelebaran masalah maka, penulis hanya membahas INTEGRAL saja..

1.4     Metode Penulisan

            Metode penulisan merupakan suatu pendekatan yang digunakan untuk mengumpulkan data, mengolah data, dan menganalisa data dengan teknik tertentu.

Perumusan Masalah

Adapun beberapa rumusan masalah dari makalah ini adalah:

1.      Bagaimana sejarah integral?

2.      Apa pengertian integral?

3.      Apa pengertian arus listrik?

4.      Apa pengertian daya listrik?

5.      Apakah hubungan integral dengan arus listrik dan daya listrik?

1.5     Metode Pengumpulan Data

    Sesuai dengan sumber data serta maksud dan tujuan penyusunan tugas akhir ini maka dalam pengumpulan data penulis menggunakan beberapa metode sebagai berikut :

a.    Studi Kepustakaan

                Suatu metode pengumpulan data yang dilakukan dengan cara menggunakan dan mempelajari buku-buku, internet, atau media lain yang ada hubungannya dengan masalah karya tulis ini.

1.6     Sistematika Penulisan

       Untuk memberikan gambaran penulisan Tugas Akhir ini, maka penulis memberikan sistematika penulisan sebagai berikut :

BAB I      PENDAHULUAN

Pada bagian pendahuluan ini memberikan gambaran tentang isi karya tulis secara keseluruhan sehingga pembaca dapat memperoleh informasi singkat dan tertarik untuk membaca lebih lanjut. Didalam bagian pendahuluan memaparkan tentang latar belakang masalah, tujuan penulisan, batasan masalah, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II   TEORI DASAR

Teori dasar ini merupakan gambaran secara umum tentang pembahasan alat dan hal-hal yang berkaitan dengan komponen-komponen dasar yang sesuai dengan referensi alat. Teori dasar yang ada pada bab ini yaitu arus listrik,rangkaiann listrik,teangan.

BAB III  PEMBAHASAN ALAT

Dalam hal ini penulis mengemukakan tentang pembahasan alat yang isinya mencakup penjelasan cara kerja alat secara keseluruhan dengan cara menganalisa setiap blok dari alat.

BAB IV  PENUTUP

Isinya merupakan kesimpulan dari pembahasan yang merupakan jawaban terhadap masalah serta berisi tentang saran-saran penulis yang didasarkan pada hasil pembahasan sehingga dapat dikembangkan dengan lebih baik.

BAB II

KAJIAN TEORI

A.    Sejarah Integral

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaituzaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno. Beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yangmerupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali padaPapirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkanpemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan,  matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.Persamaan ini kemudianmengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awalturunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga danmenjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yangmenurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan denganmenggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untukmenurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat pentingterhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang PersiaSharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yangpenting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama denganmatematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosandalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teoremadasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnyadituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan,namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanyadilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiranini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebutdianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampirbersamaan.

Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil merekauntuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka.Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertamakali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya daricatatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newtonkepada beberapa anggota dari Royal Society.Pemeriksaan secara terperincimenunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulaidari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibnizdiberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. AdalahLeibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagaikalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu,banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembanganlebih lanjut dari kalkulus.Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA danuniversitas zaman modern.

B.     Pengertian Integral

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain.
Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen.
Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.
Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.
Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva.
Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.
Contoh soal yang menggunakan Integral dalam bidang ekonomi :

1. Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR       = ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c
jika c    = 0
TR       = 5Q3 + 5Q2 – 5Q
2. Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?
P          = ∫ MP dQ
= ∫ 2Q2 + 4
= 2/3 Q3 + 4Q + c
jika c    = 0
P          = 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q

1.      Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

Himpunan tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval. Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(ti)· Δxi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi di sepanjang [a,b] dengan dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan

Secara matematis dapat kita tuliskan:

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh:

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

dan, sehingga:

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi mendekati 0, maka didapatkan:

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

2.      Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang. Misalkan terdapat sebuah fungsi, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

C.    Pengertian Arus Listrik

Arus listrik adalah banyaknya muatan listrik yang disebabkan dari pergerakan elektron-elektron, mengalir melalui suatu titik dalam sirkuit listrik tiap satuan waktu. [1] Arus listrik dapat diukur dalam satuan Coulomb/detik atau Ampere. Contoh arus listrik dalam kehidupan sehari-hari berkisar dari yang sangat lemah dalam satuan mikroAmpere () seperti di dalam jaringan tubuh hingga arus yang sangat kuat 1-200 kiloAmpere (kA) seperti yang terjadi pada petir. Dalam kebanyakan sirkuit arus searah dapat diasumsikan resistansi terhadap arus listrik adalah konstan sehingga besar arus yang mengalir dalam sirkuit bergantung pada voltase dan resistansi sesuai dengan hukum Ohm.

Arus listrik merupakan satu dari tujuh satuan pokok dalam satuan internasional. Satuan internasional untuk arus listrik adalah Ampere (A). Secara formal satuan Ampere didefinisikan sebagai arus konstan yang, bila dipertahankan, akan menghasilkan gaya sebesar 2 x 10-7 Newton/meter di antara dua penghantar lurus sejajar, dengan luas penampang yang dapat diabaikan, berjarak 1 meter satu sama lain dalam ruang hampa udara.

Arus listrik adalah perbandingan jumlah muatan(Q) yang mengalir pada suatu titik dalam penghantar dengan waktu (t) yang ditempuhnya.

    I = Q/t

I = arus listrik (Ampere)

Q = muatan yang dipindahkan

     (Coulomb)

t = waktu (detik)

1 A = 1 Coulomb/detik  

Jika terjadi perubahan aliran muatan (aliran muatan tidak konstan, berubah-ubah), maka arus listrik yang mengalir adalah :

    I = dQ/dt

I = arus listrik (Ampere)

dQ = perubahan aliran muatan (Coulomb)

dt = perubahan waktu (detik)

D.    Pengertian Daya Listrik

Daya listrik didefinisikan sebagai laju hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik. Daya listrik, seperti daya mekanik, dilambangkan oleh huruf P. Satuan SI yang dipakai adalah watt. Arus listrik yang mengalir dalam rangkaian dengan hambatan listrik menimbulkan kerja. Peranti mengkonversi kerja ini ke dalam berbagai bentuk yang berguna, seperti panas (seperti pada pemanas listrik), cahaya (seperti pada bola lampu), energi kinetik (motor listrik), dan suara (loudspeaker). Listrik dapat diperoleh dari pembangkit listrik atau penyimpan energi seperti baterai.

E.     Hubungan Integral dengan Arus dan Daya Listrik

Ternyata hubungan integral dengan arus dan daya listrik yaitu berkataian dalam rumusnya dalam permukaan yang tertutup dan dalam rangan. Dan disini kita akan membahasnya yaitu:

1.      Arus Listrik dalam Permukaan Tertutup

Arus yang mengalir dalam suatu permukaan tertutup dengan kerapatan arus J dapat ditentukan dengan perhitungan integral tertutup :

 

I = arus listrik dalam permukaan tertutup (A)

J = kerapatan arus (A/m2)

dA = komponen diferensial permukaan.

2.      Perumusan daya listrik dalam ruang

Dalam kasus umum, persamaan P = VI harus diganti dengan perhitungan yang lebih rumit, yaitu integral hasil kali vektor medan listrik dan medan magnet dalam ruang tertentu.

otensial Listrik dan Energi Potensial yang ditimbulkan oleh Muatan Titik.Potensial listrik pada sebuah titik yang diletakkan sejauh r dari muatan q dapat ditentukan dngan persamaan umum beda potensial

Dengan A dan B adalah dua titik sebarang sperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Pada titik tertentu di dalam ruang, medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik adalah E = k q r[topi] / r[kuadrat], dengan r[topi] adalah vektor satuan yang arahnya dari muatan ke titik tinjauan. Besaran E • ds dapat dinyatakan dalam bentuk

Karena besar r[topi] adalah 1 maka hasil kali titik r[topi]• ds = ds cos q, dengan q adalah sudut antara r[topi]dan ds. Selanjutnya, ds cos q merupakan proyeksi ds pada r, sehingga ds cos q = dr. Perpindahan dssepanjang lintasan dari titik A ke B menghasilkan perubahan dr sebagai nilai r, yaitu vector posisi titik tinjauan relative terhadap muatan yang membentuk medan tersebut. Dengan subtitusi, diperoleh

E • ds = (k q /r2) dr

Sehingga pernyataan untuk beda potensial menjadi

Persamaan ini menunjukkan bahwa integral E•ds tidak bergantung pada bentuk lintasan antara titik A dan B. Dengan mengalikan muatan qo yang bergerak di antara titik A dan B tampak pula bahwa integral qo E• ds tidak bergantung pada bentuk lintasan. Integral yang terakhir ini merupakan usaha yang dilakukan oleh gaya listrik, yang menunjukkan bahwa gaya listrik bersifat konservatif. Berkaitan dengan gaya konservatif ini didefenisikan pula medan konservatif. Dengan demikian persamaan 25.10 menunjukkan bahwa medan listrik dari sebuah muatan titik tetap bersifat konservatif. Lebih jauh lagi, persamaan 25.10 menyatakan sebuah hasil penting bahwa beda potensial antara dua titik A dan B di dalam medan yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik hanya bergantung pada koordinat radial rA dan rB. Pemilihan titik acuan potensial listrik untuk sebuah muatan titik dapat disesuaikan, misalnya V = 0 pada rA = ∞. Dengan pilihan acuan ini, potensial listrik yang dihasilkan oleh sebuah muatan titik pada jarak r dari muatan tersebut adalah  

Potensial listrik total pada sebuah titik P yang dihasilkan oleh dua atau lebih muatan dapat diperoleh dengan menerapkan prinsip superposisi pada persamaan di atas. Potensial listrik total tersebut sama dengan jumlah dari potensial listrik yang dihasilkan oleh masing-masing muatan, sehingga dapat ditulis 

dengan ri adalah jarak titik P ke muatan qi. Persamaan ini menunjukkan bahwa potensial akan bernilai nol pada titik jarak tak terhingga dari muatan. Perlu diingat bahwa persamaan ini merupakan penjumlahan aljabar dan bukan penjumlahan vektor. Dengan demikian, biasanya lebih mudah menghitung V dari pada menghitungE.

               

Selanjutnya akan dibahas energi potensial sebuah sistem yang terdiri dari dua partikel bermuatan. Jika V2adalah potensial listrik di titik P yang yang ditimbulkan oleh muatan q2, maka usaha yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan kedua q1 dari jarak tak terhingga menuju P tanpa percepatan adalah q1V2. Usaha ini merepresentasikan sebuah perpindahan energi ke dalam sistem dan energi tersebut timbul di dalam sistem sebagai energi potensial U jika kedua partikel terpisah sejauh r12.

Dengan demikian energi potensial sistem adalah

Jika kedua muatan bertanda sama, maka U positif. Hal ini sesuai dengan kenyataan bahwa usaha positif harus dilakukan oleh sebuah pengaruh luar terhadap sistem untuk membawa kedua muatan mendekat satu sama lain (karena muatan yang bertanda sama tolak-menolak). Jika kedua muatan berlawanan tanda, U negatif; ini berarti bahwa usaha negatif dilakukan oleh pengaruh luar melawan gaya tarik di antara kedua muatan yang berlawanan tanda tersebut ketika dibawa saling mendekati – sebuah gaya harus diberikan dalam arah yang berlawanan dengan perpindahan untuk mencegah terjadinya percepatan q1 menuju q2.

                Pada gambar berikut, muatan q1 dihilangkan. Pada posisi awal muatan q1, yaitu titik P, persamaan25.2 dan 25.13 dapat digunakan untuk mendefenisikan potensial yang ditimbulkan oleh muatan q2, yaitu V = U/q1 = k q2/r12. Pernyataan ini sesuai dengan persamaan 25.11.

Jika sistem terdiri dari lebih dari dua partikel bermuatan, energi potensial totalnya dapat ditentukan dengan menghitung U untuk setiap pasangan muatan dan menjumlahkannya secara aljabar. Sebagai contoh, tinjau gambar berikut.

Secara fisis, dapat diinterpretasikan sebagai berikut : andaikan posisi q1tetap seperti pada gambar tetapi q2 dan q3 berada di jarak tak terhingga. Usaha total yang harus dilakukan oleh pengaruh luar untuk membawa muatan q2 dari jarak tak terhingga ke posisi di dekat q1 adalah k q1q2/r12, yang merupakan suku pertama pada persamaan 25.14. Dua suku terakhir menggambarkan usaha yang diperlukan untuk membawa q3 dari jarak tak terhingga mendekati q1 dan q2.

Hasilnya adalah skalar, karena ini adalah integral permukaan dari vektor Poynting.

BAB Ill

PENUTUP

Pada bab ini penulis memaparkan beberapa kesimpulan dan saran – saran yang penulis dapatkan dalam proses mulai tahap studi literature, observasi dan pembahasan rangkaian.

A.    Kesimpulan

Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus tersebut mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Dan cabang-cabang dari kalkulus ini mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, dalam dunia pendidikan ataupun kesehatan.

Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam dunia pendidikan sains yaitu dalam bidang fisika arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang.

B.     Saran

Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami aplikasi integral dalam bidang fisika yait dalam arus dan daya listrik pada permukaan tertutup dan dalam ruang. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.

                                                                                

DAFTAR PUSTAKA

Cekmas Cekdin. 2005. Teori dan Contoh Soal Teknik Elektro. Andi ; Yogyakarta.

Duane Hanselman & Bruce Littlefield. 2000. MATLAB Bahasa Komputasi Teknis. Andi ; Yogyakarta.

Hamdhani, Mohamad. 2005. Rangkaian Listrik. STTTELKOM ; Bandung.